Однородное пространство — множество ${\displaystyle M}$ вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы ${\displaystyle G}$. Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа ${\displaystyle G}$ — группой движений, или основной группой однородного пространства.

Связанные определения[править | править вики-текст]

• Любая точка ${\displaystyle x}$ однородного пространства ${\displaystyle M}$ определяет подгруппу

  ${\displaystyle G_{x}=\{g\in G|gx=x\}}$

основной группы ${\displaystyle G}$. Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки ${\displaystyle x}$. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе ${\displaystyle G}$ с помощью внутренних автоморфизмов.

Примеры[править | править вики-текст]

• С произвольной подгруппой ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ связано некоторое однородное пространство группы ${\displaystyle G}$ — множество ${\displaystyle M=G/H}$ левых классов смежности группы ${\displaystyle G}$ по подгруппе ${\displaystyle H}$, на котором ${\displaystyle G}$ действует по формуле

  ${\displaystyle g(aH)=(ga)H}$, ${\displaystyle g,a\in G}$.

Это однородное пространство называется факторпространством группы ${\displaystyle G}$ по подгруппе ${\displaystyle H}$, а подгруппа ${\displaystyle H}$ оказывается стабилизатором точки ${\displaystyle eH=H}$ этого пространства (${\displaystyle e}$ — единица группы ${\displaystyle G}$).

Свойства[править | править вики-текст]

• Любое однородное пространство ${\displaystyle M}$ группы ${\displaystyle G}$ можно отождествить с факторпространством группы ${\displaystyle G}$ по подгруппе ${\displaystyle H=G_{x}}$, являющейся стабилизатором фиксированной точки ${\displaystyle x\in M}$.

• Если группа ${\displaystyle G}$ является топологической группой, а ${\displaystyle H}$ — её подгруппой (в частности если ${\displaystyle G}$ — группа Ли, а ${\displaystyle H}$ — замкнутая подгруппа в ${\displaystyle G}$), то факторпространство ${\displaystyle M=G/H}$ каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ является непрерывным (соответственно аналитическим).
  • Если группа Ли ${\displaystyle G}$ транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии ${\displaystyle M}$, то для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ подгруппа ${\displaystyle H=G_{x}}$ замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы ${\displaystyle G}$ не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.

Литература[править | править вики-текст]

• Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — 2008.